雷达基本方程、特殊方程和干扰方程知识

来源 | 雷达信号处理matlab

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雷达是依靠目标散射的回波能量来探测目标的。雷达方程定量地描述了作用距离和雷达参数及目标特性之间的关系。雷达方程具有重要的研究价值。

雷达距离方程

峰值功率为 的全向天线雷达（向所有方向均匀发射能量）发射信号，则在离雷达 处的功率密度为

通常，雷达系统为增加在某一方向的功率密度而使用定向天线。定向天线通常用天线增益 和天线有效孔径 来表征，它们之间的关系为

其中 表示波长，天线有效孔径 和天线物理孔径 之间的关系为

式中， 是指天线的孔径效率（有效接收率），性能好的天线要求接近于 1。在实际中，人们通常取 。在此 和 是不区分的。

增益与天线方位及仰角波束宽度又有关系：

其中， 且取决于天线的物理孔径形状； 、 分别为天线的方位角和仰角波束宽度（单位为 rad）。

雷达使用增益为 的定向天线时，离雷达为 处的雷达功率为

当雷达辐射能量到目标时，目标上感应产生的表面电流向所有方向辐射电磁波。辐射能量的大小与目标尺寸、物理性状、材料等有关，所有这些因素结合在一起称为雷达截面积 （目标散射截面积），用 表示。

雷达截面积定义为向雷达反射的功率与入射到目标上的功率密度之比，即

式中， 为从目标反射的功率。因此，雷达天线接收到的信号总功率为

由上式可看出，接收的回波功率 与目标的距离 的四次方成反比。这是因为在一次雷达中，雷达波的能量衰减很大（其传播距离为 ）。

只有当接收到的功率大于最小可检测功率 时，雷达才能稳定地发现目标。所以，当正好等于 时，就可得到雷达检测目标的最大作用距离。此时

上式表明了最大作用距离 和雷达参数以及目标特性之间的关系。第一个等式里 与 成反比，而在第二个等式里却和 成正比。这是由于在第一个等式中，当天线面积不变、波长增加时天线增益下降，导致作用距离减小；而在第二个等式中，当天线增益不变，波长增大时要求的天线面积亦相应增大，有效面积增加，其结果使作用距离加大。

SNR条件下的雷达方程

在实际情况中，雷达接收的回波信号是与噪声参杂在一起的，噪声在所有雷达频率上产生不需要的电压。噪声本质上是随机的，可以用功率谱密度（PSD）函数来描述。（详情请见#噪声系数和噪声温度#）

噪声功率 是雷达工作带宽 的函数，即

接收机的输入噪声功率是

式中， 是玻尔兹曼常数， 是以热力学温度（ ）为单位的标准室内温度，即 。

接收机的噪声系数 为

式中， 是输入信号功率， 是天线末端的输入噪声功率， 、 是输出的信号功率和噪声功率。

则输入端的信号功率

因此，可探测的最小信号功率为

将雷达的探测门限设定为等于最小输出信噪比 ，则最大探测距离

则

一般来说，用 表示雷达的各部分损耗，即

在早期雷达中，通常用各类显示器来观察和检测目标信号，所以称所需的 为识别系数或可见度因子 。

现代雷达则用建立在统计检测理论基础上的统计判决方法来实现信号检测，检测目标信号所需的最小输出信噪比又称为检测因子 （Detectability Factor），即 。

就是满足所需检测性能（即检测概率为 和虚警概率为 ）时，在检波器输入端单个脉冲所需要达到的最小信噪比，也经常表示为 。

一般情况下，可以近似认为带宽为时宽的倒数，即 。当用

方式时，即用信号能量 代替脉冲功率 ，用检测因子 代替 ，并考虑接收机带宽失配所带来的信噪比损耗，在雷达距离方程中增加带宽校正因子 （匹配时 ），则雷达距离方程为

用检测因子 和能量 表示的雷达方程在使用时有以下优点：

当有 个脉冲可以积累时，积累可改善信噪比，故检波器输入端的值可以下降，因此该方程表明了雷达作用距离和脉冲积累数 之间的关系

用能量表示的雷达方程适用于各种复杂脉压信号的情况。只要知道脉冲功率及发射脉宽就可以用来估算作用距离，而不必考虑具体的波形参数

下图分别为雷达散射截面积 与雷达峰值功率 在不同距离下对 影响的仿真。

本文参考《现代雷达系统分析与设计》。

雷达特殊方程

低脉冲重复频率（PRF）雷达方程

考虑脉冲宽度为 ，脉冲重复周期为 ，发射峰值功率为 的脉冲雷达。则其平均发射功率 ，其中 是雷达的发射工作比，也称发射占空因子。

同样可以定义接收占空因子 为

因此，对于低 PRF 雷达（ ），接收占空因子 。

"驻留时间" （波束照射目标的时间）定义为

式中， 为到达目标的脉冲总数， 是雷达的脉冲重复频率。

则对于低的脉冲重复频率雷达，单个脉冲的雷达方程为

则对 个目标脉冲回波信号进行相干积累，理论上比单个脉冲回波的信噪比提高 倍，这时雷达方程为

又因为 ，则低脉冲重复频率的雷达方程可以表示为

低脉冲重复频率的雷达仿真结果如下图所示。

随着脉冲数目的增加，低脉冲重复频率的雷达具有更好的信噪比，可以探测更远的距离。

高脉冲重复频率（PRF）雷达方程

现在考虑高脉冲重复频率雷达的情况。发射信号是周期性脉冲串，脉冲宽度为 ，脉冲重复周期为 。这个级数的中心功率谱线（DC分量）包含大部分信号功率，其值为 ，等于发射占空因子 的平方。

因此，对于高脉冲重复频率雷达，单个脉冲回波的雷达方程为

在这种情况下，需要考虑接收占空因子 ，因为它的值与发射占空因子相当。实际上， （ 为脉冲重复频率）。另外，若工作带宽与雷达积累时间相匹配，即 ，得到

即

其中 。注意乘积（ ）表示能量，它表示高脉冲重复频率雷达可以通过相对低的功率和较长的积累时间来增强探测性能。

高脉冲重复频率的雷达仿真结果如下图所示。

随着高脉冲重复频率的雷达占空比的增加，其探测性能明显改善。

搜索雷达方程

搜索雷达的任务是在指定空域进行目标搜索。下图给出了两种常用的搜索雷达的波束搜索模式，其中图（a）的波束宽度在仰角维足够宽，可以覆盖要求的搜索范围，而波束在方位维上扫描；图（b）为堆积波束搜索，需要在方位和仰角两维上时分波束扫描，这种模式通常应用于相控阵雷达。

搜索空域通常由搜索立体角 指定，单位为 sr（球面弧度），如下图所示。

假设整个搜索空域的立体角为 （ 、 分别为雷达在方位和仰角上的搜索空域范围）。

天线在方位和仰角维的半功率波束宽度分别为 和 ，天线波束所张的立体角为 ，则需要覆盖立体角 的天线波束的数量 为

限定扫描整个空域的时间为 ，而天线波束扫过目标所在波位的驻留时间为 ，则有

可得，驻留时间

由此可见，当天线增益加大时（波束变窄），一方面使收发能量更集中，有利于提高作用距离，但同时天线波束宽度减小，扫过目标的驻留时间缩短。可利用的脉冲数 减小，这又不利于发现目标。

根据基本雷达方程式，有

采用关系式 和 （ 为脉冲重复周期， 为脉冲宽度），则

假设在单次扫描内，每个波束只有一个脉冲照射目标，即 ，代入上式，可得

又因为天线增益 和天线有效孔径 之间的关系为 且 （详情见#基本雷达方程#）,式中 取决于天线的物理孔径形状，在此取 1。

则波束张角 和天线增益 的关系为 ，则搜索雷达方程（基于每个脉冲周期单脉冲）为

式中 称为功率孔径积（指发射的平均功率与天线的有效孔径的乘积）。

假设雷达采用直径为 的圆形孔径天线， 波束宽度为 ，扫描时间 与在目标上的驻留时间 的关系为

故

利用圆形孔径面积的关系，则圆形孔径天线的搜索雷达方程为

搜索雷达仿真结果如下图所示。

雷达干扰方程

雷达干扰器

一切为了探测敌方无线电电子设备的电磁信息，进而削弱或破坏其使用效能所采取的技术措施称为电子对抗（ECM）。干扰器大体上可以分成两大类：噪声阻塞式干扰器和欺骗式干扰器（转发器）。

雷达接收机接收的目标回波信号与干扰的功率之比称为信干比（ ）。

当存在强干扰时，探测性能由接收的信干比和接收机信噪比共同决定，而不是仅由信噪比。然而大多数情况下，探测能力只由信号与干扰的比（信干比）决定。

阻塞式干扰器

阻塞式干扰器试图增加在雷达整个工作带宽内的噪声电平，降低了接收机的信噪比。由于噪声阻塞式干扰器辐射的信号遮住了目标回波，因此雷达难以检测到目标。这就是为什么阻塞干扰器经常称为遮蔽器（遮蔽目标回波）的原因。

阻塞式干扰可以从雷达的主瓣方向或副瓣方向进入雷达（主副瓣知识请参考#雷达天线#）。如果从主瓣方向进入，就可以利用天线的最大增益把干扰器发射的噪声功率放大，而从副瓣方向进人雷达的阻塞式干扰器必须使用更大的功率，或者工作在比主波束干扰器更近的距离上。

信号从雷达主、副瓣进入雷达如下图所示。

图源网络

主波束阻塞式干扰器可布置在攻击的运载工具上，或者作为目标的护航者。副瓣干扰器通常对特定的雷达进行干扰，由于它们需在靠近目标的地方，因而通常采用远距离布置方案（见下文）。

转发干扰器

转发干扰器在战机上载有接收设备，用来分析雷达发射波形参数及其工作情况，然后发回类似于目标的虚假信号来干扰雷达。转发式干扰器主要有两类：点噪声转发干扰器和欺骗转发干扰器。

下图为两点源反向交叉眼干扰（转发干扰）示意图。

点噪声转发干扰器先估测雷达发射信号的带宽，然后仅在特定频率上进行干扰。由于不需要干扰整个雷达带宽，转发干扰器能够更充分地利用干扰功率。雷达频率捷变可能是战胜点噪声转发干扰器的唯一途径。

欺骗转发干扰器发回使目标出现在虚假位置的信号，这些信号使得目标出现在一些虚假的位置（欺骗点）。一个欺骗转发干扰器可以产生多个欺骗的假目标信号。

通常干扰器可以用其有效工作带宽 和有效辐射功率（ ）来定义，后者与干扰器发射功率 成比例。更准确地说，

式中， 是干扰器天线增益， 是干扰器总损耗。 表示干扰器在干扰频带 的有效辐射功率谱密度（ ）。干扰器对雷达的效率用信干比（ ）来衡量。

自屏蔽干扰器（SSJ）

自屏蔽干扰器（简称SSJ）通常也叫自我保护干扰器或自卫式干扰器，属于被安装在需要保护的飞机、舰艇等目标上电子对抗（ECM）系统。

假定雷达的天线增益为 ，波长为 ，天线有效孔径为 ，接收机带宽为 ，接收机损耗为 ，峰值功率为 ，脉冲宽度为 ，雷达从距离为 、目标截面积为 的目标接收到的单个脉冲信号的功率为

在相同距离上，雷达接收到从自我保护器（SSJ）辐射的干扰信号的功率为

其中 、 、 、 分别是干扰器的峰值功率、天线增益、工作带宽和损耗。又 ，得

因为干扰器通常设计成能干扰不同带宽下的各种雷达系统，所以实际中干扰器接收机的带宽 通常比雷达工作带宽 要宽。在 SSJ 情况下，得到雷达接收的目标回波与干扰的功率之比为

当采用脉冲压缩时，利用时宽带宽积 （即目标回波信号经过脉冲压缩的处理增益），则

由于干扰功率到达雷达是单程的，而目标回波包含发射、接收距离双程，因此，通常干扰功率要比目标信号功率大一些。换句话说， 比 小。

然而，当目标接近雷达时，必定在某个距离使得比值 等于 ，这个距离称做跨越距离或烧穿距离。 大于 的距离段可用探测距离表示。令 ，可以得到自卫式干扰器的跨越距离 为

对跨越距离归一化的相对的 和 与距离的关系图如下图所示。

跨越距离和干扰器及雷达峰值功率的关系曲线如下图所示。

远距离干扰器（SOJ）

远距离干扰器（SOJ）从超出防御者杀伤能力范围之外发射电子对抗（ECM）信号。雷达接收距离为 处 SOJ 的干扰信号的功率为

除 外，上式中所有字母的含义和 SSJ 情况下的一样。增益 代表在干扰器方向的雷达天线增益，通常认为是雷达的旁瓣增益。

则经脉冲压缩后，雷达接收的目标功率 和远距离干扰器辐射信号的功率 之比为

同样的，当 时，相应地得到跨越距离 为

则检测距离为

其中 是目标被检测到时信号与干扰器功率之比的最小值。

－ The End －

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