什么是泛函？

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最新推荐文章于 2024-03-04 22:15:04 发布

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博客介绍了泛函的概念，指出泛函是函数的函数，其自变量是函数，也叫宗量。还说明了泛函分析是把函数作为元素来研究的学科。此外，给出了连续泛函满足特定条件时，分别称为线性泛函和二次性泛函的定义。

1.泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数。泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为宗量。简言之，泛函就是函数的函数。

2.一般的泛函就是把函数作为元素来研究的一门学科，泛函分析，举个简单一点的列子，我们以前学的函数是把数字作为基本的元素来研究的，现在更高一个层次，就是元素就是一个函数，比如全体实系数连续函数构成一个集合A，那么这个A中每一个元素就是一个函数，而泛函就是研究在类似于A这种集合到数之间的关系，比如在定义一个A到实数R的映射f(x),那么x就代表一个函数，所以有些人也称为是研究函数的函数。

3.如果连续泛函满足下列条件J（ x1(t)+x2(t))=J(x1(t))+J(x2(t)) J(Cx(t))=CJ(x(t))

其中C为任意常数，就称之为线形泛函。

如果连续泛函满足下列条件：J（x1(t))+J(x2(t))=0.5(J(x1(t)+x2(t))+J(x1(t)-x2(t)))且

J（Cx(t))=C^2J(x(t)),就称之为二次性泛函。